Colle numéro 6 : suites.
Cahier de Textes
MPSI 2025/2026
Toussaint → Noël
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Colle numéro 6 : suites.
Correction du TD numéro 7 : suites.
Groupes, anneaux
Lois de composition. Commutativité, associativité, élément neutre. Unicité du neutre s'il existe. Élément inversible. Unicité de l'inverse si la loi est associative. Élément régulier. Distributivité. Notion de groupe. Exemples.
Groupes, anneaux (suite)
Exemples (suite). Puissances d'un élément. Le cas de groupes additifs : multiples. Sous-groupes. Caractérisation.
TD numéro 8 : comparaison des suites.
Groupes, anneaux (suite)
Morphismes de groupes. Conservation du neutre, des inverses, des puissances. Exemples. Isomorphismes, endomorphismes, automorphismes. Image directe et réciproque d'un sous-groupe par un morphisme. Noyau et image d'un morphisme. Caractérisation des morphismes injectifs et des morphismes surjectifs. Composée de deux morphismes, réciproque d'un isomorphisme.
Groupes, anneaux (suite)
Notion d'anneau. Anneaux commutatifs, corps. Sommes et produits dans un anneau. Puissances et multiples. Sous-anneaux. Caractérisation. Le groupe des inversibles d'un anneau. Morphismes d'anneaux. Identités remarquables. Anneaux intègres : éléments réguliers, diviseurs de zéro. Espaces vectoriels : définition, notion de combinaison linéaire, notion d'application linéaire.
Colle numéro 7 : suites (bis).
Correction du devoir maison numéro 4 : une suite récurrente.
Correction du TD numéro 8 : comparaison des suites.
Férié
TD numéro 9 : groupes, anneaux, corps.
Limites et continuité
Limites et continuité (suite)
Colle numéro 8 : groupes, anneaux.
Correction du devoir maison numéro 5 : un calcul d'équivalent.
Correction du TD numéro 9 : groupes, anneaux, corps.
Limites et continuité (suite)
TD numéro 10 : limites et continuité.
Limites et continuité (suite)
Toute fonction continue et injective est strictement monotone. Continuité de la réciproque d'une bijection continue strictement monotone. Fonctions lischitziennes. Toute fonction lischitzienne est continue. La réciproque est fausse.
Limites et continuité (fin)
Coninuité uniforme. La continuité uniforme entraîne la continuité. La réciproque est fausse. Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. La réciproque est fausse. Théorème de Heine : toute fonction continue sur un segment est unifmément continue. Brève extension des résultats du chapitre aux fonctions à valeurs complexes.
Dérivation
Notion de dérivée. Équivalence entre dérivabilité et existence d'un développement limité à l'ordre 1. Tangente à la courbe en un point où la fonction est dérivable.
Colle numéro 9 : révision des trois colles précédentes.
Correction du TD numéro 10 : limites et continuité.
Dérivation (suite)
Dérivées d'ordre supérieur. Dérivées à droite et à gauche. Classes de fonctions. Opérations sur les dérivées d'ordre 1 : somme, produit par un réel, produit, quotient, composée. Dérivée d'une réciproque de bijection. Opérations sur les dérivées d'ordre supérieur : somme, produit par un réel.
Dérivation (suite)
Formule de Leibniz. Composée de deux fonctions de classe Ck. Inverse d'une fonction de classe Ck qui ne s'annule pas. Réciproque d'une bijection de classe Ck dont la dérivée ne s'annule pas. Annulation de la dérivée en un extremum local qui n'est pas une borne de l'intervalle. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis. MOnotonie et signe de la dérivée. Monotonie stricte : l'ensemble des points d'annulation de la dérivée ne contient aucun intervalle non trivial.
TD numéro 11 : dérivation.
Colle numéro 10 : limites et continuité.