Colle numéro 13 : fonctions convexes.
Cahier de Textes
MPSI 2025/2026
Noël → Février
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Colle numéro 13 : fonctions convexes.
Correction du TD numéro 14 : arithmétique.
Primitives et équations différentielles (suite)
Équation linéaire d'ordre 1 avec second membre. Méthode de variation de la constante. Problème de Cauchy. Résolution approchée : la méthode d'Euler.
Primitives et équations différentielles (suite)
Équation linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants. Équation caractéristique. Le cas complexe et le cas réel. Équation avec second membre du type exponentielle x polynôme. Le problème de Cauchy.
TD numéro 15 : primitives et équations différentielles.
Primitives et équations différentielles (fin)
Un exemple d'équation différentielle avec conditions aux limites.
Calcul matriciel
Notion de matrice. Somme et produit par un scalaire, structure d'espace vectoriel. Matrices élémentaires. Produit matriciel. Propriétés. Produits de matrices élémentaires. Matrice identité. Transposée d'une matrice. Matrices symétriques, antisymétriques.
Calcul matriciel (suite)
Produit d'une matrice par une matrice élémentaire. Opérations sur les lignes d'une matrice. Systèmes linéaires, systèmes homogènes. Structure de l'ensemble des solutions. Systèmes équivalents. Algorithme du pivot de Gauss.
Colle numéro 14 : arithmétique dans Z.
Correction du devoir maison numéro 9 : transformée de Fenchel.
Correction du TD numéro 15 : primitives et équations différentielles.
Calcul matriciel (suite)
Matrices carrées. Matrices inversibles. Le cas des matrices 2x2. Méthodes pratiques d'inversion des matrices. Matrices triangulaires. Structure d'anneau.
Calcul matriciel (fin)
Matrices diagonales. Matrices triangulaires inversibles.
Polynômes
Notion de polynôme à une indéterminée sur un corps (existence de l'algèbre des polynômes admise). Degré. Degré d'une somme. Espace vectoriel Kn[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
TD numéro 16 : calcul matriciel.
Polynômes (suite)
Produit de deux polynômes. Degré d'un produit. Intégrité de K[X]. Polynômes inversibles. Composée. La relation « divise ». Division euclidienne. Fonctions polynômes. Racines d'un polynôme.
Polynômes (suite)
Isomorphisme entre polynômes et fonctions polynômes lorsque le corps est infini. Dérivation. Formule de Taylor. Racines multiples. Lien entre l'ordre de multiplicité et l'annulation des dérivées. Polynômes irréductibles. Théorème de d'Alembert-Gauss (admis). Le cas de R et C.
Colle numéro 15 : primitives, équations différentielles.
Correction du devoir surveillé numéro 4 : fonctions absolument monotones.
Correction du TD numéro 16 : calcul matriciel.
Polynômes (suite)
Polynômes scindés. Le cas de C. Nombre de racines d'un polynômes, comptées avec leurs ordres de multiplicté. Le cas des polynômes scindés. Relations coefficients-racines pour un polynôme scindé. Pgcd de deux polynômes. Algorithme d'Euclide. Théorème de Bézout.
TD numéro 17 : polynômes.
Polynômes (suite)
Théorème de Gauss. Décomposition d'un polynôme non nul en produit de polynômes irréductibles. Existence et unicité de la décomposition. Interpolation de Lagrange.
Polynômes (fin)
Correction de deux exercices sur les polynômes.
Fractions rationnelles
Notion de fraction rationnelle. Degré. Forme irréductible. Racines, pôles. Fonction rationnelle associée à une F.R. Éléments simples. Le cas de R et C.
Colle numéro 16 : calcul matriciel.
Correction du devoir maison numéro 10 : une équation différentielle.
Fractions rationnelles (suite)
Partie entière d'une F.R. Parties polaires. Décomposition en éléments simples sur C. Le cas des pôles simples. Exemples. Le cas des pôles multiples : exemples de pôles doubles.
Fractions rationnelles (fin)
Décomposition en éléments simples sur R. Exemples. Primitives d'un élément simple.
TD numéro 18 : fractions rationnelles.
Espaces vectoriels
Notion d'espace vectoriel. Exemples : n-uplets, polynômes, fonctions, matrices. Notion de combinaison linéaire. Applications linéaires. Conservation des combinaisons linéaires. Étude des endomorphismes du plan. Opérations sur les applications linéaires.
Espaces vectoriels (suite)
Composition d'applications linéaires. Groupe GL(E) des automorphismes d'un espace vectoriel. Sous-espaces vectoriels. Caractérisation. Exemples. Image directe et réciproque d'un s.e.v. par une application linéaire. Noyau et image. Caractérisation des injections linéaires.
Colle numéro 17 : polynômes.
Correction du devoir maison numéro 11 : polynômes de Tchebychev et interpolation de Lagrange.
Espaces vectoriels (suite)
Opérations sur les sous-espaces vectoriels : intersection, somme. Sous-espace vectoriel engendré par une partie. Propriétés.
Espaces vectoriels (suite)
Somme de deux s.e.v. Sommes directes. Sous-espaces supplémentaires. Projecteurs. Sous-espace de projection, direction de la projection. Symétries.
Espaces vectoriels (suite)
Familles libres, familles génératrices, bases. Caractérisation des familles libres, des familles liées. Image d'une famille libre par une injection linéaire, d'une famille génératrice par une surjection linéaire. Le cas des bases. Caractérisation d'une application linéaire par l'image des vecteurs d'une base.
Correction du devoir surveillé numéro 5 : interpolation d'Hermite.
TD numéro 19 : espaces vectoriels.