Colle numéro 18 : fractions rationnelles.
Cahier de Textes
MPSI 2025/2026
Février → Pâques
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Colle numéro 18 : fractions rationnelles.
Correction du TD numéro 19 : espaces vectoriels.
Espaces vectoriels (fin)
Les bases d'un espace vectoriel sont ses familles libres maximales, et aussi ses familles génératrices minimales.
Dimension finie
Notion d'espace de dimension finie. Cardinal des familles libres et des familles génératrices. Toutes les bases ont le même cardinal. Théorème de la base incomplète, théorème de la base extraite.
Dimension finie (suite)
Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie. Exemples classiques. Sous-espaces vectoriels d'un espace de dimension finie. Le cas d'égalité des dimensions. Existence de supplémentaires, dimension des supplémentaires. Image d'un sev par une application linéaire. Les injections linéaires conservent les dimensions. Deux espaces de dimension finie sont isomorphe si et seulement si ils ont la même dimension. Somme de deux sev. Le cas des sommes directes. Produit de deux espaces de dimension finie.
Dimension finie (suite)
Dimension des espaces d'applications linéaires. Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire. Le théorème du rang. Conséquences. Calcul pratique d'un rang.
Dimension finie (suite)
Dualité. Formes linéaires coordonnées, base duale. Hyperplans et noyaux des formes linéaires non nulles. En dimension finie, équations d'un hyperplan dans une base de l'espace.
TD numéro 20 : dimension finie.
Colle numéro 19 : espaces vectoriels.
Dimension finie (fin)
Intersection d'hyperplans. Si E est un espace vectoriel de dimension n et F est un sous-espace vectoriel de E de dimension m, alors F est l'intersection de n - m hyperplans de E.
Matrices
Matrice d'une famille de vecteurs dans une base. Matrice d'une application linéaire dans un couple de bases. Le cas des endomorphismes. Caractérisation d'un vecteur, d'une application linéaire, par leurs matrices. Matrice d'une composée. Matrice de la réciproque d'un isomorphisme. Matrice de l'image d'un vecteur par une application linéaire. Matrices de passage. Changements de bases pour un vecteur, pour une application linéaire. Le cas des endomorphismes. Rang d'une matrice. Matrice canonique d'une application linéaire.
Matrices (suite)
Équivalence des matrices. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent une même application linéaire. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. Le rang d'une matrice est égal à celui de sa transposée.
Correction du TD numéro 20 : dimension finie.
Correction du TD numéro 20 : dimension finie (fin).
Matrices (fin)
Rang et matrices extraites. Trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme. Matrices semblables. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases différentes. Deux matrices semblables ont même trace. La réciproque est fausse.
TD numéro 21 : matrices.
Colle numéro 20 : dimension finie.
Colle numéro 21 : matrices.
Correction du devoir maison numéro 13 bis : transcendance de e.
Correction du devoir surveillé numéro 6 : endomorphismes cycliques.
Étude des fonctions
Enesemble de définition. Réduction de l'ensemble d'étude. Variations. Points remarquables. Étude à l'infini : direction asymptotique, branche parabolique, asymptote. Position de la courbe par rapport à l'asymptote. Deux exemples.
Correction du TD numéro 22 : analyse asymptotique.
Étude des fonctions (fin)
Un exemple d'étude de fonction.
Groupes symétriques
Compléments sur les groupes finis. Ordre d'un sous-groupe, ordre d'un élément. Théorème de Lagrange. Notion de permutation. Groupe symétrique. Le groupe Sn. Exemples.
TD numéro 23 : étude des fonctions.
Colle numéro 22 : analyse asymptotique.
Groupes symétriques (fin)
Orbites. Étude des orbites. Cycles, transpositions. Deux cycles de supports disjoints commutent. Décomposition d'une permutation en produit de cycles de supports disjoints. Signature d'une permutation. Le groupe alterné.
Déterminants
Applications n-linéaires. Formes n-linéaires alternées, antisymétriques.
Déterminants (suite)
Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base. Déterminant d'une matrice carrée. Déterminants, bases et matrices inversibles. Calcul des déterminants par l'algorithme du pivot de Gauss.
Correction du TD numéro 23 : étude des fonctions.
Déterminants (suite)
Développement par rapport à une colonne ou une ligne. Formule de Laplace. Exemples. Déterminants de Vandermonde.
Déterminants (suite)
Déterminant d'un endomorphisme. Interprétation géométrique. Propriétés de morphisme du déterminant.
Colle numéro 23 : étude des fonctions.
Correction partielle du devoir maison numéro 15 : développements limités.
Déterminants (fin)
Orientation d'un espace vectoriel réel. Inversion des matrices. Systèmes de Cramer.
Intégration
Subdivisions d'un segment. Fonctions en escalier. Intégrale d'une fonction en escalier. Linéarité, croissance, formule de Chasles.
Intégration (suite)
Fonctions continues par morceaux. Densité de l'ensemble des fonctions en escalier dans l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur un segment. Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment. Linéarité, croissance, formule de Chasles.
Correction du TD numéro 24 : groupes symétriques.
TD numéro 25 : déterminants.