Semaine du 23/02 au 28/02

Colle numéro 18 : fractions rationnelles.

lundi 23/02

Correction du TD numéro 19 : espaces vectoriels.

Espaces vectoriels (fin)
Les bases d'un espace vectoriel sont ses familles libres maximales, et aussi ses familles génératrices minimales.

Dimension finie
Notion d'espace de dimension finie. Cardinal des familles libres et des familles génératrices. Toutes les bases ont le même cardinal. Théorème de la base incomplète, théorème de la base extraite.

mardi 24/02

Dimension finie (suite)
Dimension d'un espace vectoriel de dimension finie. Exemples classiques. Sous-espaces vectoriels d'un espace de dimension finie. Le cas d'égalité des dimensions. Existence de supplémentaires, dimension des supplémentaires. Image d'un sev par une application linéaire. Les injections linéaires conservent les dimensions. Deux espaces de dimension finie sont isomorphe si et seulement si ils ont la même dimension. Somme de deux sev. Le cas des sommes directes. Produit de deux espaces de dimension finie.

jeudi 26/02

Dimension finie (suite)
Dimension des espaces d'applications linéaires. Rang d'une famille de vecteurs, d'une application linéaire. Le théorème du rang. Conséquences. Calcul pratique d'un rang.

vendredi 27/02

Dimension finie (suite)
Dualité. Formes linéaires coordonnées, base duale. Hyperplans et noyaux des formes linéaires non nulles. En dimension finie, équations d'un hyperplan dans une base de l'espace.

TD numéro 20 : dimension finie.

Semaine du 02/03 au 07/03

Colle numéro 19 : espaces vectoriels.

lundi 02/03

Dimension finie (fin)
Intersection d'hyperplans. Si E est un espace vectoriel de dimension n et F est un sous-espace vectoriel de E de dimension m, alors F est l'intersection de n - m hyperplans de E.

Matrices
Matrice d'une famille de vecteurs dans une base. Matrice d'une application linéaire dans un couple de bases. Le cas des endomorphismes. Caractérisation d'un vecteur, d'une application linéaire, par leurs matrices. Matrice d'une composée. Matrice de la réciproque d'un isomorphisme. Matrice de l'image d'un vecteur par une application linéaire. Matrices de passage. Changements de bases pour un vecteur, pour une application linéaire. Le cas des endomorphismes. Rang d'une matrice. Matrice canonique d'une application linéaire.

mardi 03/03

Matrices (suite)
Équivalence des matrices. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent une même application linéaire. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. Le rang d'une matrice est égal à celui de sa transposée.

jeudi 05/03

Correction du TD numéro 20 : dimension finie.

vendredi 06/03

Correction du TD numéro 20 : dimension finie (fin).

Matrices (fin)
Rang et matrices extraites. Trace d'une matrice, trace d'un endomorphisme. Matrices semblables. Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases différentes. Deux matrices semblables ont même trace. La réciproque est fausse.

TD numéro 21 : matrices.

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