Colle numéro 26 : intégration.
Cahier de Textes
MPSI 2024/2025
Pâques → Fin de l'année
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Colle numéro 26 : intégration.
Correction du devoir maison numéro 18 : matrices circulantes.
Correction du TD numéro 27 : intégration.
Séries
Notion de série. Terme général, sommes partielles. Séries convergentes, divergentes. Somme, restes, d'une série convergente. Linéarité de la somme. Le terme général d'une série convergente tend vers 0. La réciproque est fausse. Séries géométriques, séries de Riemann. Exponentielle d'un nombre complexe. Lien entre suites et séries. Séries à termes positifs. Majoration des sommes partielles. Majoration du terme général. Termes généraux équivalents. Équivalence des restes.
TD numéro 28 : dénombrements.
Férié
Séries (suite)
Comparaison séries <--> intégrales. Application à la recherche d'équivalents de restes, de sommes partielles. Convergence absolue. La convergence absolue entraîne la convergence. La réciproque est fausse. Le cas des séries de Riemann.
Colle numéro 27 : dénombrements.
Correction du devoir maison numéro 19 : polynômes de Bernoulli, fonction zeta.
Correction du TD numéro 28 : dénombrements.
Séries (fin)
Séries alternées. Toute série alternée est convergente. Développements p-adiques d'un réel. Existence. Condition d'unicité.
TD numéro 29 : séries.
Probabilités
Univers. Introduction à la notion de tribu. Événements. Espace probabilisable. Le cas des univers finis ou dénombrables. Le vocabulaire des probabilités. Probabilités sur un espace probabilisable. Espaces probabilisés. Propriétés élémentaires.
Probabilités (suite)
Fonctions de masse (ou de distribution). Caractérisation d'une probabilité par sa valeur sur les événements élémentaires. Probabilité uniforme. Probabilité d'une différence, de la réunion de deux événements. Tirages avec remise dans une urne (loi binomiale), tirages sans remise (loi hypergéométrique). Probabilités conditionnelles.
Colle numéro 28 : séries.
Correction du devoir maison numéro 20 : surjections et partitions.
Correction du TD numéro 29 : séries.
Probabilités (suite)
Probabilités composées, probabilités totales. Formule de Bayes. Événements indépendants.
TD numéro 30 : probabilités.
Variables aléatoires
Notion de variable aléatoire discrète. Loi d'une v.a. Image d'une v.a. par une fonction. Lois usuelles : loi uniforme, loi de Bernoulli, loi binomiale. Couples de v.a. Loi conjointe, lois marginales. Lois conditionnelles.
Variables aléatoires (fin)
Variables aléatoires indépendantes. Le lemme des coalitions.
Espérance et variance
Toutes les variables aléatoires considérées prennent un nombre fini de valeurs. Espérance des lois usuelles.
Colle numéro 29 : probabilités.
Correction du devoir surveillé numéro 8 : dénombrements, intégration.
Correction du TD numéro 30 : probabilités.
Espérance et variance (suite)
Linéarité de l'espérance. Positivité, croissance, nullité de l'espérance. Événements presques sûrs. Propriétés vraies presque sûrement. Formule de transfert. Espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes.
Espérance et variance (suite)
Espérance du produit de n variables aléatoires réelles indépendantes. Variance, écart-type. Variables centrées, variables réduites. CNS de nullité de la variance. Variance des lois usuelles. Inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Loi faible des grands nombres. Covariance de deux variables aléatoires réelles. Variables décorrélées.
TD numéro 31 : variables aléatoires.
Férié
Pont
Colle numéro 30 : probabilités (bis).
Férié