Imaginons un instant qu'il existe un ensemble de tous les ensembles ... notons le \(\mathcal U\) comme « univers ».
Soit \(E\) l'ensemble des ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. \[E=\{X\in\mathcal U, X\not\in X\}\] On a \[E\in E \iff E \not \in E\] Contradiction. Que peut-on en conclure ? L'un des axiomes de la théorie des ensembles dit que si \(A\) est un ensemble et \(P\) une propriété, alors il existe un (unique) ensemble \(E\) dont les éléments sont les éléments de \(A\) qui vérifient la propriété \(P\). Cet ensemble est noté \[E=\{x\in A, P(x)\}\] L'axiome dont nous venons de parler nous dit (en prenant \(P(x)=\) « \(X\not\in X\) ») que \(E\) est un ensemble. Or cela aboutit à une contradiction. En conclusion :
L'ensemble de tous les ensembles n'existe pas.