$\newcommand\N{\mathbb N} \newcommand\Z{\mathbb Z} \newcommand\Q{\mathbb Q} \newcommand\R{\mathbb R} \newcommand\C{\mathbb C} \newcommand\too\longrightarrow \renewcommand\phi\varphi \renewcommand\epsilon\varepsilon \renewcommand\hat\widehat \renewcommand\tilde\widetilde \renewcommand\bar\overline \newcommand\fl[1]{\left\lfloor #1\right\rfloor} \newcommand\llbracket{[\![} \newcommand\rrbracket{]\!]} \newcommand\bbr[2]{\llbracket #1,#2\rrbracket} \newcommand\todo{{\bf TODO }} \newcommand\prob{\mathbb P} \newcommand\esp{\mathbb E} \newcommand\var{\mathbb V} \newcommand\tribu{\mathfrak T}$

$$u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$$ ¶

Marc Lorenzi

17 octobre 2024

1. Attracteurs étranges¶

1.1 Une suite réelle définie par récurrence¶

Considérons la suite réelle $u$ définie par $u_0\in[-1,+\infty[$ et pour tout $n\in\N$,

$$u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}.$$

Le comportement de cette suite est facile à étudier. Notons

$$\phi=\frac{1+\sqrt 5}{2}.$$

Si $u_0\le\phi$, la suite $u$ est croissante et tend vers $\phi$. Si $u_0\ge\phi$, la suite $u$ est décroissante et tend vers $\phi$.

Passons à des choses plus intéressantes. Que se passe-t-il si nous prenons $u_0\in\C$ ?

1.2 Passage aux complexes¶

La définition de la suite $u$ fait intervenir des racines carrées. Si nous voulons définir cette suite dans $\C$ il va nous falloir être précis.

Supposons donné un espace probabilisé $(\Omega,\tribu,\prob)$. Soit $(\epsilon_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes qui suivent une loi uniforme sur $\{-1,1\}$ (c'est ce l'on appelle des variables de Rademacher). La fonction epsilon ci-dessous possède un « paramètre caché » $\omega\in\Omega$. Au $n$ème appel, cette fonction renvoie $\epsilon_n(\omega)$.

Pour tout $z\in\C$, écrivons

$$z=re^{i\theta}$$

où $r=|z|\in\R_+$ et $\theta\in\ ]-\pi,\pi]$. Si $z\ne 0$, $\theta$ est l'unique argument de $z$ qui appartient à $]-\pi,\pi]$. Posons

$$\sqrt z=\sqrt re^{i\theta/2}.$$

Le nombre complexe $\sqrt z$ est une racine carrée de $z$. C'est en fait la valeur renvoyée par la fonction sqrt du module Python cmath.

Pour tout $z_0\in\C$, considérons la suite $(z_n)_{n\in\N}$ de premier terme $z_0$ définie, pour tout $n\in\N$, par

$$z_{n+1}=\epsilon_n\sqrt{1+z_n}.$$

Plus précisément, nous venons de définir la variable aléatoire

$$Z:\Omega\too\C^\N$$

qui à tout $\omega\in\Omega$ associe la suite $Z(\omega)=(z_n(\omega))_{n\in\N}$.

La fonction termes_suite prend en paramètres un nombre complexe $z_0$ et un entier naturel $n$. Elle renvoie la liste $[z_0,\ldots,z_n]$.

Cette fonction est un peu plus générale. Elle prend également en paramètre un nombre complexe $c$ et renvoie les termes de la suite définie par $z_{n+1}=\sqrt{z_n-c}$. Dans tout le notebook, nous ne discuterons que du cas $c=-1$ mais bien d'autres valeurs de $c$ donnent des résultats tout aussi intéressants. Vous pourrez trouver lesquelles en vous documentant sur les ensembles de Julia.

1.3 Étrange ?¶

Quelle est la « limite » de la suite $(z_n)_{n\in\N}$ ? Faisons un dessin.

La fonction plot_complexes affiche les images des nombres complexes $z$ de la liste zs.

Dessinons maintenant les 100000 premiers termes de la suite $(z_n)_{n\in\N}$ en prenant (par exemple) $z_0=0$. Chaque évaluation de la cellule ci-dessous renvoie (a priori) un dessin différent.

Bigre ! Et en fait, re-bigre : vous pouvez évaluer la cellule ci-dessus autant de fois que vous le voulez, en prenant les valeurs de $z_0$ que vous voulez, vous obtiendrez toujours (sauf malchance inouie) le même dessin. La suite $(z_n)_{n\in\N}$ semble attirée par un ensemble très compliqué que nous noterons $J$.

L'ensemble $J$ (nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Gaston Julia) est un attracteur étrange.

• Attracteur, car il attire la suite.
• Étrange, car il est ... étrange. Pour donner deux exemples d'attracteurs pas du tout étranges,
  • l'attracteur d'une suite convergente est le singleton $\{\ell\}$ où $\ell$ est la limite de la suite.
  • l'attracteur de la suite $(1/n+(-1)^n)_{n\in\N}$ est l'ensemble $\{-1,1\}$.

En fait, $J$ vérifie la propriété suivante. Pour tout $z_0\in J$, une sorte de définition de limite est vérifiée :

$$\forall\epsilon>0,\exists n\in\N,\forall n\ge N, d(z_n,J)\le\epsilon$$

où

$$d(z_n,J)= \inf\{|z_n-z|:z\in J\}$$

est la distance de $z_n$ à $J$. Mieux, $J$ est la plus petite partie fermée de $\C$ (je n'expliciterai pas le concept d'ensemble fermé) vérifiant cette propriété.

2. IFS¶

2.1 C'est quoi ?¶

IFS signifie « Iterated Function System ». Comme leur nom l'indique, les IFS sont des systèmes de fonctions itérées. Dans le cas qui nous occupe, considérons la fonction $f:\C\too\C$ définie par $f(z)=\sqrt(1+z)$. Définissons ensuite la fonction $F:\mathcal P(C)\too\mathcal P(C)$ définie, pour toute partie $A$ de $\C$, par

$$F(A)=f(A)\cup (-f)(A)$$

Remarquons que pour tout $A\in\mathcal P(\C)$, $F(A)$ est symétrique par rapport à $O$, c'est à dire que pour tout $w\in\C$, $w\in A\iff -w\in A$. Notons $\mathcal S$ l'ensemble des parties de $\C$ symétriques par rapport à $O$.

Démonstration. Montrons que $F$ est injective. Soient $A,A'\in\mathcal P(\C)$. Supposons $F(A)=F(A')$. Soit $z\in A$. On a $f(z)\in F(A)=F(A')$, il existe donc $z'\in A'$ tel que $f(z)=\pm f(z')$. En élevant au carré, il vient facilement $z=z'\in A'$ et donc $A\subseteq A'$. De même, $A'\subseteq A$. Ainsi, $A=A'$.

Montrons maintenant que $F$ est surjective. Soit $B\in\mathcal S$. Soit $A=\{w^2-1:w\in B\}$. Montrons que $F(A)=B$.

Soit $u\in F(A)$. On a donc $u\in f(A)$ ou $u\in (-f)(A)$. Soit $z\in A$ tel que $u=\pm f(z)$. Comme $z\in A$, il existe $w\in B$ tel que $z=w^2-1$. On a donc

$$u=\pm f(z)=\pm\sqrt{w^2-1+1}=\pm w$$

Or, $B\in\mathcal S$ donc $u=\pm w\in B$. Ainsi, $F(A)\subseteq B$.

Inversement, soit $w\in B$. En posant $z=w^2-1$, on a $z\in A$ et $\pm f(z)=w$, donc $w\in F(A)$. Ainsi, $B\subseteq F(A)$.

Finalement, $F(A)=B$.

Quel est le lien entre $F$ et $J$ ? Eh bien $J$ est un point fixe de $F$.

Démonstration. Étant donné que nous n'avons pas défini proprement l'ensemble $J$, montrer ce résultat serait assez délicat ...

Retenons en tout cas que $J$ est un point fixe de $F$ (c'est même l'unique compact non vide qui soit un point fixe de $F$). Ceci suggère de faire l'expérience suivante. Étant donné $A_0\subseteq\C$, considérons la suite $(A_n)_{n\in\N}$ définie par la relation de récurrence $A_{n+1}=F(A_n)$. Se pourrait-il que, d'une certaine façon, la suite $(A_n)_{n\in\N}$ converge vers $J$ ? Il s'avère que si $A$ est compact et non vide, c'est effectivement le cas.

Nous allons tenter l'expérience. En partant d'une image $A$ représentant n'importe quoi (une licorne, par exemple) et en itérant la fonction $F$ sur l'image $A$, nous devrions voir la licorne se déformer et se transformer progressivement en $J$.

2.2 Quelques fonctions utiles¶

La fonction matrice renvoie une matrice $N\times N$ dont tous les coefficients sont égaux à $c$.

Soit $A$ une matrice de taille $N\times N$, dont les coefficients sont censés représenter des points du carré $[-2,2]\times[-2,2]$. Pour tous $i,j\in\bbr 0{N-1}$, nous aurons besoin de savoir à quel nombre complexe correspond le couple $(i,j)$. Inversement, si $z\in\C$, nous devrons déterminer le couple $(i,j)$ d'entiers de $\bbr 0{N-1}$ qui lui correspond.

Les fonctions pixel_vers_complexe et complexe_vers_pixel font le travail.

La fonction transformee prend en paramètre une matrice carrée $A$. Les coefficients de $A$ sont des triplets $(r,g,b)$ d'entiers entre 0 et 255, représentant des couleurs. La fonction construit une matrice $B$ de même taille que $A$ initialement remplie de triplets $(255,255,255)$ (la couleur blanche). Pour chaque nombre complexe $z$ correspondant à un coefficient de $A$ qui n'est pas la couleur blanche, la fonction calcule $\pm\sqrt{z-c}$ (où, dans notre discussion, $c=-1$). Elle ajuste le coefficient correspondant dans la matrice $B$. Pour faire vite, transformee(A) calcule $F(A)$.

Enfin, la fonction plot_matrix affiche l'image représentée par $A$.

2.3 Allons-y¶

L'image sur laquelle nous allons travailler représente une licorne. La fonction read_licorne lit les pixels de l'image dans le fichier licorne.raw.

La fonction iter lit l'image licorne et applique $n$ fois la fonction $F$.

Itérons une fois.

Nous obtenons deux licornes avec un gros museau en train de s'embrasser.

Itérons maintenant deux fois.

On reconnaît 4 licornes entrelacées. Et si on itère 3 fois ?

Il y a 8 licornes, mais on a beaucoup de mal à les voir. Faisons 20 itérations.

Voyez-vous les 1048576 licornes ? Pas moi. Par contre, la figure affichée me rappelle quelque chose :-).

3. Renversement des itérations¶

3.1 Suites renversées.¶

Reprenons notre suite $(z_n)_{n\in\N}$. Pour tout $n\in\N$,

$$z_{n+1}=\epsilon_n\sqrt{1+z_n}$$

En élevant au carré, il vient

$$z_n=z_{n+1}^2-1$$

Ceci suggère de considérer de nouvelles suites récurrentes, définie par leur premier terme $z_0\in\C$ et par la relation de récurrence

$$z_{n+1}=z_{n}^2-1$$

Remarquez le subtil échange $n\longleftrightarrow n+1$. Posons alors

$$K=\{z_0\in\C:(z_n)_{n\in\N}\text{ est bornée}\}$$

Y a-t-il un lien entre $J$ et $K$ ? On se croirait dans Men in Black.

Démonstration admise. Prouvons juste un petit résultat.

Démonstration. Rappelons que $\phi$ est le nombre d'or. Soit $z_0\in\C$. Supposons $|z_0|> \phi$. Posons $|z_0|=\phi+h$ où $h>0$. On a alors

$$|z_1|=|z_0^2-1|\ge|z_0|^2-1=(\phi+h)^2-1=\phi+2\phi h+h^2\ge \phi + 2\phi h.$$

Par une récurrence facile,,

$$\forall n\in\N, |z_n|\ge \phi + (2\phi)^nh.$$

Ainsi, $|z_n|$ tend vers $+\infty$ lorsque $n$ tend vers l'infini, et donc $z_0\not\in K$.

Remarque. Plus généralement, s'il existe $n\in\N$ tel que $|z_n|>\phi$, alors $z_0\not\in K$.

3.2 Dessiner $K$¶

Nous devrions pouvoir trouver $K$ par la technique suivante : pour chaque $z_0$ appartenant au disque de centre 0 et de rayon $\phi$, on calcule $z_1$, $z_2$, etc. Si l'un des $z_k$ est de module strictement supérieur à $\phi$, alors $z_0\not\in K$. Sinon, on affiche $z_0$ avec une couleur qui dépend de ... ce qui nous fait plaisir.

La fonction iterer effectue le travail. Elle fonctionne un peu différemment de ce que je viens de dire. Je n'explique pas ici la valeur renvoyée. Cette valeur est reliée à l'interprétation de $J$ comme un corps électriquement chargé. Ce corps crée un champ électrique. La fonction iterer renvoie une approximation du potentiel associé à ce champ.

La théorie des potentiels associés aux attracteurs étranges a été développée (entre autres) par les mathématiciens Adrien Douady et John Hubbard.

La fonction de tracé prend en paramètres :

• Le centre de l'image affichée, qui est un nombre complexe.
• un facteur de zoom.
• Le ratio largeur / hauteur de l'image.
• Le nombre maximal d'itérations effectuées en chaque point.
• La hauteur de l'image en pixels.

3.3 Allons-y¶

Commençons par un tracé de $K$ tout entier. Centre 0, zoom 1, ratio image 2/1, 512 itérations maximum par pixel, et une hauteur d'image de 300 pixels.

Remarquons que le nombre d'or est le point situé à l'extrémité droite de $J$. En effet, si nous prenons $z_0=\phi$ alors la suite $(z_n)_{n\in\N}$ est constante égale à $\phi$, donc bornée. Ainsi, $\phi\in K$. En revanche, si $|z_0|>\phi$, alors nous avons vu que $z_0\not\in K$.

Faisons un zoom $\times1000$ sur ce point.

Et le copain $\hat\phi$ du nombre d'or ? Il est à l'extrémité gauche du gros trou noir au milieu de l'image globale. Faisons un zoom $\times1000$.

Dernier zoom : $\times 10^3$ sur l'imaginaire pur situé à l'extémité haute de $K$.

Démonstration. Soit $z_0=\frac i{\sqrt\phi}$. On a

$$z_1=z_0^2-1=-\frac 1\phi-1=-\frac{\phi+1}{\phi}=-\phi$$

et

$$z_2=z_1^2-1=\pi^2-1=\phi$$

puis, pour tout $n\ge 2$, $z_n=\phi$. Ainsi, $z_0\in K$. Soit maintenant $z_0=\frac{ix}{\sqrt{\phi}}$ où $x>1$. On a $z_1\in\R$ et

$$z_1=z_0^2-1=-\frac {x^2}\phi-1<-\frac {1}\phi-1=-\frac{\phi+1}{\phi}=-\phi$$

Ainsi, $|z_1|>\phi$, donc $z_0\not\in K$.

3. Conclusion¶

Vous ne verrez plus jamais la suite $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$ de la même façon.