{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "id": "b186bb3c", "metadata": {}, "source": [ "$\\newcommand\\N{\\mathbb N}\n", "\\newcommand\\Z{\\mathbb Z}\n", "\\newcommand\\Q{\\mathbb Q}\n", "\\newcommand\\R{\\mathbb R}\n", "\\newcommand\\C{\\mathbb C}\n", "\\newcommand\\too\\longrightarrow\n", "\\renewcommand\\phi\\varphi\n", "\\renewcommand\\epsilon\\varepsilon\n", "\\renewcommand\\hat\\widehat\n", "\\renewcommand\\tilde\\widetilde\n", "\\renewcommand\\vec\\overrightarrow\n", "\\renewcommand\\bar\\overline\n", "\\newcommand\\fl[1]{\\left\\lfloor #1\\right\\rfloor}\n", "\\newcommand\\llbracket{[\\![}\n", "\\newcommand\\rrbracket{]\\!]}\n", "\\newcommand\\bbr[2]{\\llbracket #1,#2\\rrbracket}\n", "\\newcommand\\todo{{\\bf TODO }}\n", "\\newcommand\\prob{\\mathbb P}\n", "\\newcommand\\esp{\\mathbb E}\n", "\\newcommand\\var{\\mathbb V}\n", "\\newcommand\\tribu{\\mathfrak T}$" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "486fb3d5", "metadata": {}, "source": [ "# L'approche fréquentiste des probabilités : un échec\n", "\n", "Marc Lorenzi\n", "\n", "4 mai 2026" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "11402611", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import random\n", "import math\n", "import matplotlib.pyplot as plt" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "9ac07dfa", "metadata": {}, "source": [ "## 1. Une expérience" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "5d0fcb59", "metadata": {}, "source": [ "Soit $p\\in\\N^*\\setminus\\{1\\}$. Tout réel $x>0$ s'écrit de façon unique\n", "\n", "$$x=M_p(x)p^{E_p(x)}$$\n", "\n", "où $M_p(x)\\in[1,p[$ et $E_p(x)\\in\\Z$. \n", "\n", "- Le réel $M_p(x)$ est la *mantisse* de $x$ en base $p$.\n", "- L'entier $E_p(x)$ est *l'exposant* de $x$ en base $p$.\n", "\n", "Le *premier chiffre* de $x$ en base $p$ est $C_p(x)=\\lfloor M_p(x)\\rfloor$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "150c06d2", "metadata": {}, "source": [ "La fonction `random_premier_chiffre` prend en paramètre un entier $p\\ge 2$. Elle renvoie le premier chiffre d'un réel strictement positif « aléatoire ». " ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "aa3c0bea", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def random_premier_chiffre(p):\n", " return math.floor(p ** random.uniform(0, 1))" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "0953a5ca", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "print([random_premier_chiffre(10) for k in range(20)])" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "8568066d", "metadata": {}, "source": [ "La fonction `frequences` prend en paramètre une liste d'entiers `xs` de longueur $n$ et un entier $a$. Pour tout $k\\in\\bbr0{n-1}$, soit $f_k$ la fréquence d'apparition de $a$ dans les $k+1$ premiers éléments de `xs` (bref, le nombre de $a$ divisé par $k+1$). La fonction renvoie la liste $[f_0,\\ldots,f_{n-1}]$. " ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "9abddcb0", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def frequences(xs, a):\n", " s = 0\n", " n = len(xs)\n", " ms = []\n", " for k in range(n):\n", " if xs[k] == a: s += 1\n", " ms.append(s / (k + 1))\n", " return ms" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4c9da046", "metadata": {}, "source": [ "Calculons le premier chiffre en base 10 de quelques réels « aléatoires » et traçons les fréquences d'apparition de l'entier 1." ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "2d09a65a", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "plt.rcParams['figure.figsize'] = (8, 3)" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "f9f9545e", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "n, p = 1000, 10\n", "ns = range(n)\n", "xs = [random_premier_chiffre(p) for k in range(n)]\n", "ys = frequences(xs, 1)\n", "plt.plot(ns, ys, 'k', lw=0.5)\n", "plt.ylim(0, 0.6)\n", "plt.grid()" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "c95ee1fe", "metadata": {}, "source": [ "Après quelques bizarreries, les fréquences semblent se stabiliser aux alentours d'un réel de l'ordre de $0.3$." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "bab07785", "metadata": {}, "source": [ "## 2. Et alors ?" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "65b20491", "metadata": {}, "source": [ "Eh bien, rien du tout.\n", "\n", "Et si je prends $n=10^{10}$ ? Et si j'évalue la cellule un trillion de fois ? Une **infinité** de fois ? Et puis, c'est quoi un réel « aléatoire » ? Tout ceci n'a pas grand sens ...\n", "\n", "Le but du cours de probabilités est justement de donner un sens à tout ceci. Une fois ce cours terminé, nous comprendrons alors l'énoncé du théorème ci-dessous ... et nous ne serons toujours pas capables de le prouver." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "78bd8b91", "metadata": {}, "source": [ "
\n", " Proposition. Soit $(\\Omega,\\mathcal T,\\prob)$ un espace probabilisé. On munit l'ensemble $E=[1,10[$ de la tribu des boréliens. Soit $\\mathcal F=(X_n)_{n\\ge 1}$ une suite de variables aléatoires définies sur l'univers $\\Omega$, à valeurs dans $E$, suivant la loi de Benford de paramètre $10$. On suppose la suite $\\mathcal F$ indépendante. Pour tout $n\\ge 1$, soit

\n", " $$Y_n=\\mathbb 1_{\\{C_{10}(X_n)=1\\}}$$\n", "On a alors, lorsque $n$ tend vers l'infini,\n", " $$\\frac 1 n\\sum_{k=1}^n Y_k\\overset{p.s.}\\too\\log 2$$\n", "
" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "id": "95ac8c93", "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "print(math.log(2, 10))" ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "08a29686", "metadata": {}, "source": [ "Questions en vrac :\n", "\n", "1. Qu'est ce qu'un **espace probabilisé** ? un **univers** ?\n", "2. Qu'est-ce qu'une **tribu** ?\n", "3. C'est quoi, $\\prob$ ?\n", "4. Qu'est-ce qu'un **borélien** ?\n", "5. Qu'est-ce qu'une **variable aléatoire** ?\n", "6. Qu'est ce que la **loi de Benford** ?\n", "7. Qu'est-ce qu'une famille **indépendante** ?\n", "8. Que veut dire $\\{C_{10}(X_n)=1\\}$ ?\n", "9. Que signifie le « p.s. » au-dessus de la flèche ?\n", "\n", "Nous répondrons dans le cours de probas aux questions 1, 2, 3, 4, 5, 7 et 8. Laissons la question 9 au cours de l'année prochaine et la question 6 à un éventuel TIPE." ] }, { "cell_type": "markdown", "id": "4642cfe4", "metadata": {}, "source": [ "#### « *Long is the road, Hard is the way, Heavy is my load, But deep is my faith.* »" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3 (ipykernel)", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.12.3" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 5 }